Georg Cantor, colui che diede una svolta decisiva sulla questione dell’infinito matematico

Cantor, dotato da sempre di grande immaginazione, esplorò svariati insiemi infiniti. Ad esempio osservò che l’insieme dei numeri naturali N (0,1,2..) poteva essere valutato, “a occhio”, come la metà dell’insieme degli Interi Z (-2,-1,0,1,2..); entrambi però sono infiniti ma è possibile determinare una corrispondenza biunivoca che li collega. Basti osservare che i numeri naturali si suddividono a metà tra i pari e i dispari e quindi “trasformare” gli interi non negativi nei pari e quelli negativi nei dispari: si ha una biiezione tra N e Z. Un altro analogo risultato fu quello che collega il quadrato (o anche il cubo) con il loro lato: entrambi hanno lo stesso “numero di punti”. Il teorema fu dimostrato e suscitò incredulità nel mondo matematico dato che il risultato sembra confondere enti geometrici di diversa dimensione, come curve, superfici e solidi, minando le basi della geometria. Lo stesso Cantor ne parlò in una lettera indirizzata all’amico e matematico Dedekind affermando: “Lo vedo, ma non lo credo”.

Le innumerevoli prove scovate da Cantor fanno presagire che tutti gli insiemi infiniti abbiano lo stesso numero di elementi ma fu egli stesso che dimostrò, nel 1874, in maniera definitiva che non tutti gli infiniti sono uguali e ci sono più modi di essere infinito! Il teorema affermava infatti che non c’è una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri reali R e quello dei numeri naturali N, quindi ci sono almeno due modi di essere infinito: quello dei naturali e quello dei reali. Generalizzò questo risultato provando che ci sono un’infinità di modi di essere infinito. Questa distinzione lo portò a classificare gli infiniti in base al loro “numero” di elementi, oltre a sviluppare un’aritmetica con la possibilità di fare calcoli, e lo condussero a formulare la Teoria degli Insiemi (oggi conosciuta come Teoria Ingenua degli Insiemi). In questa dimostrò che dati due insiemi, c’era tra di essi una relazione di equivalenza che determina una partizione di insiemi in classi: A e B sono nella stessa classe se e solo se hanno lo stesso numero di elementi. Le classi di equivalenza vengono chiamate numeri cardinali. Tra di essi compaiono tutti i numeri naturali (che possono essere individuati con i cardinali degli insiemi finiti) ma anche nuovi numeri infiniti ad esempio Alfef zero che Cantor usò per denominare il cardinale dei numeri naturali e a cui diede il nome di numerabile; il cardinale dei numeri Reali, che chiamò il continuo, lo indicò con la c gotica.

C’è un interessante argomento, a cui diamo solo un accenno, che è quello dell’ipotesi del continuo. Cantor dimostrò che l’insieme numerabile non ha tanti elementi come il continuo e si chiese se tra i due insieme infiniti N e R ci fossero altri infiniti intermedi. Presuppose di no, ma non riuscì a dimostrarlo e Hilbert inserì la questione nella lista di 23 problemi aperti della matematica presentanti al convengo del 1900 dei matematici a Parigi. La congettura di Cantor fu chiamata Ipotesi del Continuo.

Maneggiare l’infinito non è di certo un esercizio tranquillo. La questione presentava anche risvolti religiosi e Cantor, fervente credente e amante della teologia, distinse due infiniti attuali: uno che chiamò assoluto, che si applica solo a Dio e non è terrenamente accessibile, un altro che ribattezzò transfinito, che era l’infinito oggetto dei suoi studi. Ma i tempi non erano dei migliori e già vari matematici illustri si erano opposti all’idea di infinito attuale (come Gauss nel 1831). Cantor dovette quindi affrontare la diffidenza dell’intera comunità scientifica: aspirava di ottenere l’ambito posto all’Università di Berlino, ma fu sempre ostacolato soprattutto dal matematico Kronecker. Quest’ultimo, facendo riferimento alle antiche concezioni pitagoriche, voleva che l’aritmetica e l’analisi venissero basate sui numeri interi. Affermava infatti “Il lavoro di Cantor sui numeri transfiniti e sulla Teoria degli Insiemi non è matematica, ma misticismo. Dio ha creato i numeri interi; tutto il resto è opera dell’uomo”.

I continui attacchi contro Cantor, non solo da parte di Kronecker, lo portarono nel 1884 ad avere il primo di una lunga serie di esaurimenti nervosi che si ripeterono, con ricorrente frequenza, per tutto il resto della sua vita. Il suo lavoro però venne alla fine apprezzato e soprattutto riconosciuto, ma purtroppo egli morì nel 1918 all’interno di un ospedale psichiatrico di Halle. La tragedia personale di Cantor trova conforto però nelle parole di alcuni grandi matematici tra cui Bertrand Russel, che nel 1910 scrisse:

“La soluzione delle difficoltà che in passato circondavano l’infinito matematico è probabilmente la massima conquista che la nostra epoca ha da vantare”